又有概率题了! 985大佬们来看看

14回复/ 7亮12784 浏览

拿骚茯苓(15级)楼主2019-09-17 08:10:04发布于新泽西

又有概率题了! 985大佬们来看看由拿骚茯苓发表在步行街主干道 https://bbs.hupu.com/topic-daily

这道题让我翘班思考了一下午。。好在老板没来查岗。实在想拿出来跟JRs分享一下，题目如下：

投色子，投到出现点数为6为止，问平均投多少次（投的次数包含最后结果是6的那次）。重点：条件是每次投的点数都恰好是偶数。

等于就是求 E(投到6为止所需要的投掷次数 | 得到6之前所有投到的点数都是偶数)

所以这是一道条件概率（or 期望）的问题。【貌似一出现条件概率就容易有争议，就像是男孩女孩1/2 vs 2/3】

通常来说如果没有条件概率就应该是6（时间发生概率为p，则平均测量1/p次会测量到首次发生），这题目有趣就在于加了一个条件概率。

这道题让我翘班思考了一下午。。好在老板没来查岗。实在想拿出来跟JRs分享一下，题目如下：

投色子，投到出现点数为6为止，问平均投多少次（投的次数包含最后结果是6的那次）。重点：条件是每次投的点数都恰好是偶数。

等于就是求 E(投到6为止所需要的投掷次数 | 得到6之前所有投到的点数都是偶数)

所以这是一道条件概率（or 期望）的问题。【貌似一出现条件概率就容易有争议，就像是男孩女孩1/2 vs 2/3】

通常来说如果没有条件概率就应该是6（时间发生概率为p，则平均测量1/p次会测量到首次发生），这题目有趣就在于加了一个条件概率。

只看楼主

全部回帖

收起

桔子啊啊啊2019-09-17 08:16:24发布于上海

点灭只看此人举报1楼

前排等大佬们解答

亮了(1)

NTU老队长2019-09-17 08:19:09发布于上海

点灭只看此人举报2楼

我觉得是3，可以假设骰子只剩2，4，6三个面，投三次平均会碰到6然后停止

亮了(2)

削阴助阳真君2019-09-17 08:43:10发布于浙江

点灭只看此人举报3楼

先好好学概率再来思考会节约你很多时间

亮了(2)

itsz2019-09-17 09:03:19发布于福建

点灭只看此人举报4楼

P（6|偶数）=P（偶数|6）P（6）/P（偶数）=1/6 / 1/2=1/3，3次吗？引战的概率题😂

亮了(0)

转身过神2019-09-17 09:05:41发布于北京

点灭只看此人举报5楼

我第一次模拟也是三，因为没考虑到‘必须每次都是偶数‘这句话，这句话有两种解释：

1. 只有扔到偶数才计数（可以理解为一个只有三个面2，4，6的色子）

2. 只有连续扔到偶数才计数

两种解释分别对应答案3和1.5

我的理解是，扔色子，每次计数，扔出六算成功，扔出奇数则前面的计数不算。模拟了10000次，成功需要扔1.5次。读题时间短，对题目的理解和程序可能都有问题。抛砖引玉吧。

我第一次模拟也是三，因为没考虑到‘必须每次都是偶数‘这句话，这句话有两种解释：

1. 只有扔到偶数才计数（可以理解为一个只有三个面2，4，6的色子）

2. 只有连续扔到偶数才计数

两种解释分别对应答案3和1.5

亮了(10)

查看评论(2)

拿骚茯苓楼主2019-09-17 09:21:39发布于新泽西

点灭只看此人举报6楼

引用 @转身过神发表的:

只看此人

我第一次模拟也是三，因为没考虑到‘必须每次都是偶数‘这句话，这句话有两种解释：

1. 只有扔到偶数才计数（可以理解为一个只有三个面2，4，6的色子）

2. 只有连续扔到偶数才计数

两种解释分别对应答案3和1.5

[图片]

我第一次模拟也是三，因为没考虑到‘必须每次都是偶数‘这句话，这句话有两种解释：

1. 只有扔到偶数才计数（可以理解为一个只有三个面2，4，6的色子）

2. 只有连续扔到偶数才计数

两种解释分别对应答案3和1.5

老哥可以的！没想到五楼就出模拟结果了hhhhhh 模拟算法是正确的主要就是期待大家讨论一下数学上的解法和思路吧

亮了(0)

枫依归尘2019-09-17 09:25:51发布于加利福尼亚

点灭只看此人举报7楼

亮了(2)

NTU老队长2019-09-17 09:34:51发布于上海

点灭只看此人举报8楼

引用 @转身过神发表的:

只看此人

我第一次模拟也是三，因为没考虑到‘必须每次都是偶数‘这句话，这句话有两种解释：

1. 只有扔到偶数才计数（可以理解为一个只有三个面2，4，6的色子）

2. 只有连续扔到偶数才计数

两种解释分别对应答案3和1.5

[图片]

我第一次模拟也是三，因为没考虑到‘必须每次都是偶数‘这句话，这句话有两种解释：

1. 只有扔到偶数才计数（可以理解为一个只有三个面2，4，6的色子）

2. 只有连续扔到偶数才计数

两种解释分别对应答案3和1.5

这位老哥模拟出来的答案感觉是对的

亮了(0)

梦醒扬州1232019-09-17 09:53:32发布于广东

点灭只看此人举报9楼

这是我模拟出来的结果，平均都是3，GetChance模拟投色子，投出6停止，返回次数，然后执行10000次函数取平均值，答案为3

亮了(0)

拿骚茯苓楼主2019-09-17 13:16:59发布于宾夕法尼亚

点灭只看此人举报10楼

要沉了。。直接分享一下我跟同事们的讨论结果吧。
1. 标准错误答案就是3. 虽然最后剩下可能的点数序列只可能由2，4组成并以6结尾，但是这跟拿一个“三面色子”抛并不等价。原因就是有“全是偶数”这个条件。P(第一次投色子得到6 | 序列只包含偶数) 这个概率并不是1/3. 用贝叶斯公式：
P(第一次是6 & 序列偶数)= P(第一次是6) = 1/6
P(序列偶数) = 1/6 + 2/6 * 1/6 + (2/6)^2 * 1/6 + ... = 1/4 【第一次1/6概率取到6，则结束，2/6概率取到2和4，则继续看第二次，以此类推】
P(第一次投色子得到6 | 序列只包含偶数) = (1/6) / (1/4) = 2/3

但算 P(第一次投色子得到2 | 序列只包含偶数) 的时候就不一样了。P(第一次是2 & 序列偶数) 并不是 1/6, 因为第一次得到2游戏并没有结束，之后的采样有可能得到1、3、5，从而导致不满足序列偶数。P(第一次是2 & 序列偶数) = P(第一次是2) * P(从第二次开始全是偶数) = P(第一次是2) * P(从第一次开始全是偶数) 【从第几次开始全是偶数都是一样的概率】
P(第一次投色子得到2 | 序列只包含偶数) = 1/6

所以虽然这个问题也可以等价为“三面色子”，但是这个三面色子是不均匀的，得到6概率2/3.
最后结果就是 (2/3)^-1 = 1.5
为了方便直观上理解可以构造更极端的例子：比如有一个100面的色子，投到100点就结束，问平均投掷几次，条件是在得到100点之前只能是1点。这样肯定就不会猜两次了吧。因为这个条件过滤掉了绝大部分情况。剩下的情况基本都是第一次投就是100点，游戏结束。能出现第一次1点，第二次100点是极小概率事件，可以忽略不计。直观可以估计，这个极端例子最后的期望就比1多一点点。

2. 网上能搜到普林斯顿电子工程系教授Paul Cuff提供了一个非常干净的思路，他把问题等价成：投色子，投到1、3、5、6为止，问投掷次数期望。这样一来答案显而易见1.5。问题是为什么能这样等效——因为等效问题中1、3、5、6完全对称，我如果规定以6结尾，不改变投掷次数期望。等效问题中如果规定以6结尾，所剩的序列就与原题目表述完全一样。如果从跑实验来模拟整个过程来思考的话，你就会发现这两种表述所对应的实验是完全等价的。

3. 也可以用贝叶斯公式先算 E(投到6为止投掷次数 & 全偶数) = 1 * 1/6 + 2 * 2/6 * 1/6 + 3 * (2/6)^2 * 1/6 + ... = 3/8
最后除以P(序列全偶数) = 1/4
得到1.5
这种解法比较直白，就是处理级数稍微复杂一点